Üçgende Ağırlık Merkezi ve Orta Taban ile Uzunluk Hesabı

Çözüm adımları

1. ABD üçgeninde |BE| $=$ |ED| olduğundan [AE] kenarortaydır; ayrıca |AF| $=$ |FD| olduğundan [BF] de kenarortaydır. Kenarortayların kesim noktası olan K noktası, ABD üçgeninin ağırlık merkezidir. Ağırlık merkezi kenarortayı tabana 1, köşeye 2 birim oranında böler. |FK| $=3$ br ise |BK| $=2\cdot$ |FK| $=6$ br olur. |EK| $=4$ br ise |AK| $=2\cdot$ |EK| $=8$ br ve dolayısıyla |AE| $=$ |AK| $+$ |EK| $=12$ br olur. Soruda verilen |CD| $=2|EB|=2|ED|$ eşitliğinden |BD| $=$ |BE| $+$ |ED| $=2|ED|$ elde edilir; yani |BD| $=$ |CD| olur ve D noktası [BC] kenarının orta noktasıdır. E ile F noktalarını birleştirirsek, ABD üçgeninde E ve F orta noktalar olduğundan [EF] orta tabandır ve [AB]'ye paraleldir. Ancak AC uzunluğunu bulmak için E ve D noktalarının konumuna bakalım: |BE| $=$ k, |ED| $=$ k ve |DC| $=$ 2k'dır. Buna göre |BD| $=2k$ ve |DC| $=2k$ olduğundan D noktası [BC]'nin orta noktasıdır. AKF dik üçgeninde [AE] ⊥ [BF] olduğundan Pisagor teoreminden $|AF|^{2}=|AK|^{2} + |FK|^{2}=8^{2} + 3^{2}=64 + 9=73$ bulunur; buradan |AF| $=\sqrt{7}3$ ve |AD| $=2\sqrt{7}3$ olur (bu bilgiye gerek kalmadan orta taban kullanalım). BKE dik üçgeninde Pisagor teoreminden $|BE|^{2}=|BK|^{2} + |EK|^{2}=6^{2} + 4^{2}=52$ bulunur. Daha pratik bir yol olarak; D noktasından [BF]'ye paralel bir doğru çizip [AE] uzantısını kesmesini sağlayabiliriz veya [EF] orta tabanını kullanabiliriz. Aslında F noktası [AD]'nin, D noktası ise [BC]'nin orta noktasıdır. D noktasından [AE]'ye paralel bir [DH] doğru parçası ([AC] üzerinde H noktası) çizersek; E, D, C oranlarından faydalanabiliriz. Alternatif olarak koordinat sistemi kuralım: K orijin (0,0), AE doğrusu $y-\text{ekseni}$, BF doğrusu $x-\text{ekseni}$ olsun. Bu durumda $K(0,0), A(0,8), E(0,-4), B(-6,0), F(3,0)$ olur. E noktası B ile D'nin orta noktası olduğundan: D $=2E -$ B $=2(0,-4) - (-6,0)=(6,-8)$ bulunur. Kontrol edelim: F, A ile D'nin orta noktası mı? $\frac{A+D}{2}=\frac{0+6, 8-8}{2}=(3,0)=$ F. Evet, sağlar. D noktası B ile C'nin orta noktası olduğundan (|BD| $=2|ED|=$ |CD|): C $=2D -$ B $=2(6,-8) - (-6,0)=(12,-16) - (-6,0)=(18,-16)$ bulunur. Bize |AC| uzunluğu sorulmaktadır. A(0,8) ve $C(18,-16)$ noktaları arasındaki uzaklığı bulalım: |AC| $=\sqrt{(18 - 0)^{2} + (-16 - 8)^{2}}=\sqrt{18^{2} + (-24)^{2}}$ $18=6\cdot 3$ ve $24=6\cdot 4$ olduğundan, bu $3-4-5$ üçgeninin 6 katıdır; yani hipotenüs $6\cdot 5=30$ birimdir. Geometrik görme yolu: BKC üçgeninde ya da paralel çekerek; B'den geçen ve AE'ye paralel bir doğru veya E'den BF'ye paralel çizildiğinde $18-24-30$ dik üçgeni oluşur. Cevap: 30

   Bu adımı detaylandır