Üçgende Kenarortay, Ağırlık Merkezi ve Orta Taban Sorusu

Çözüm adımları

1. ABD üçgenini inceleyelim. [AE] doğru parçası [BD] kenarını |EB| $=$ |ED| olacak şekilde, [BF] doğru parçası ise [AD] kenarını |AF| $=$ |FD| olacak şekilde iki eş parçaya bölmüştür. Bu durumda [AE] ve [BF], ABD üçgeninin kenarortaylarıdır ve kesişim noktaları olan K noktası ABD üçgeninin ağırlık merkezidir. Ağırlık merkezi kenarortayı tabana 1 birim, köşeye 2 birim olacak şekilde (1:2 oranında) böler. |FK| $=3$ br olduğundan |BK| $=2\cdot$ |FK| $=2\cdot 3=6$ br olur. Buradan |BF| $=$ |BK| $+$ |FK| $=6 + 3=9$ br bulunur. Soruda |CD| $=2|EB|=2|ED|$ verilmiştir. |EB| $=$ |ED| $=$ m dersek, |BD| $=2m$ ve |CD| $=2m$ olur. Böylece |BD| $=$ |CD| olduğu görülür, yani D noktası [BC] kenarının orta noktasıdır. Aynı zamanda |AF| $=$ |FD| olduğundan F noktası da [AD] doğru parçasının orta noktasıdır. BCD üçgenine baktığımızda (veya B noktasından AC'ye paralel değil, ADC üçgeninde veya BFC'de); D noktası [BC]'nin, F noktası [AD]'nin orta noktası olduğundan, [FD] doğru parçası değil, B, D, C doğrusal olduğu için ADC üçgeninde F orta nokta, D orta nokta... Dikkat edersek $B-E-D-C$ doğrusaldır. ABC üçgeninde D noktası [BC]'nin orta noktası, ABD üçgeninde F noktası [AD]'nin orta noktasıdır. Bu durum doğrudan orta taban vermez, bu yüzden D noktasından [BF]'ye bir paralel çizelim veya E noktasından faydalanım. Daha pratik bir yol olarak: K noktası ABD'nin ağırlık merkezi olduğundan |AK| $=2\cdot$ |EK| $=2\cdot 4=8$ br olur. Böylece |AE| $=8 + 4=12$ br'dir. AKE dik üçgeninde (∠AKE $=$ 90°): |AK| $=8$ br ve |FK| $=3$ br olduğundan Pisagor bağıntısıyla |AF| $=\sqrt{8^{2} + 3^{2}}=\sqrt{7}3$ bulunur, bu yol karmaşıktır. Şekildeki diklikten yararlanarak orta taban oluşturalım: D noktasından [AE]'ye paralel bir doğru çizip [BC] veya [AC] üzerindeki uzantısına bakalım. Bunun yerine ADC üçgeninde F noktası [AD]'nin orta noktasıdır. F noktasından [DC]'ye değil, D noktasından [BF]'ye paralel çizersek; D noktası [BC]'nin orta noktası olduğundan, [BF] $\frac{\frac{}{}}{}$ [DH] (H ∈ [AC]) çizildiğinde [DH] orta taban olur? Hayır, $B-F-C$ üçgeni yoktur, F noktası [AD] üzerindedir. Doğru orta taban: BDC doğrusal ve |BD| $=$ |DC|, ayrıca |AF| $=$ |FD|. C noktasından [BF]'ye paralel değil, D noktasından [AC]'ye paralel çizersek veya F'den yararlanırsak: En net yöntem: [AE] kenarortay olduğu için E noktası [BD]'nin orta noktasıdır. |EB| $=$ m, |ED| $=$ m, |DC| $=2m$. AKE, BKE dik üçgenlerinden: BKE dik üçgeninde |BK| $=6$ br, |EK| $=4$ br ise Pisagor'dan m $=$ |BE| $=\sqrt{6^{2} + 4^{2}}=\sqrt{5}2$ bulunur. Kosinüs teoremi veya kenarortay teoremi yerine koordinat sistemi kuralım: K noktasını orijin (0,0) seçelim. [AE] doğrusu $y-\text{ekseni}$, [BF] doğrusu $x-\text{ekseni}$ olsun. K(0,0) ise: A noktası $y-\text{ekseni}$ üzerinde: |AK| $=8$ olduğundan A(0, 8). E noktası $y-\text{ekseni}$ üzerinde: |EK| $=4$ olduğundan $E(0, -4)$. F noktası $x-\text{ekseni}$ üzerinde: |FK| $=3$ olduğundan F(3, 0). B noktası $x-\text{ekseni}$ üzerinde: |BK| $=6$ olduğundan $B(-6, 0)$. Kontrol edelim: E noktası $B(-6,0)$ ile D noktasının orta noktasıdır. $E(0,-4)=$ (B $+ D)/2$ ⇒ D $=2E -$ B $=(0, -8) - (-)$, 0) $=(6, -8)$. F noktası A(0,8) ile $D(6,-8)$ noktalarının orta noktası mıdır? (A $+ D)/2 = (0+6, 8-8)/2 = ()$, 0) $=$ F. Tam olarak sağladı! Şimdi C noktasının koordinatlarını bulalım: $D(6, -8)$ noktası, $B(-)$, 0) ile C noktasının orta noktasıdır (çünkü |BD| $=2m$ ve |CD| $=2m)$. D $=$ (B $+ C)/2$ ⇒ C $=2D -$ B $=2(6, -8) - (-)$, 0) $=(12, -16) - (-)$, 0) $=(18, -16)$. Bizden |AC| uzunluğu isteniyor. A(0, 8) ve $C(18, -16)$ noktaları arasındaki uzaklığı bulalım: |AC| $=\sqrt{(18 - 0)^{2} + (-16 - 8)^{2}}$ |AC| $=\sqrt{18^{2} + (-24)^{2}}$ $18=6\cdot 3$ ve $24=6\cdot 4$ olduğundan, bu $3-4-5$ özel dik üçgeninin 6 katıdır $(18-24-3)$ üçgeni). Buradan |AC| $=6\cdot 5=30$ birim bulunur. Cevap: 30

   Bu adımı detaylandır