Karede Köşegen ve Benzerlik ile Alan Hesaplama Sorusu

Çözüm adımları

1. 1. Adım: ABCD bir kare ve [BD] köşegen olduğundan m(ABD) $=$ m(ADB) $=$ 45°'dir.

   Bu adımı detaylandır

2. 2. Adım: AKL ve AEB üçgenlerini inceleyelim. m(KAL) $=$ m(EAB) $=$ 45° (ortak açı veya verilen açı) ve m(ABD) $=$ m(EBA) $=$ 45° olduğundan m(KAL) $=$ m(EBA) $=$ 45°'dir.

   Bu adımı detaylandır

3. 3. Adım: ALK ve AEB üçgenlerinde m(AEB) ortak gibi düşünülürse; আসলে AKB ve AEB üçgenlerinde m(BAE) ortak açıdır ve m(KAF) $=$ m(ABD) $=$ 45°'dir. Benzer şekilde m(ALK) açısı A, L, B doğrusal olmadığından D, K, L, B doğrusaldır.

   Bu adımı detaylandır

4. 4. Adım: AKD ve AEB üçgenlerine bakalım: m(KAD) $+$ m(KAB) $=$ 90° ve m(EAB) $+$ m(KAB) $=$ 45° değil, m(KAD) $+$ m(BAE) $=$ 45°'dir. Daha kolayı: m(FAK) $=$ 45° ve m(FDK) $=$ 45° olduğundan AKFD dörtgeni bir kirişler dörtgenidir.

   Bu adımı detaylandır

5. 5. Adım: AKFD kirişler dörtgeni olduğundan m(ADF) $=$ m(AKF) olacağından; m(ADF) $=$ 45° ise m(AKF) de değil, m(AFD) $+$ m(AKD) $=$ 180° olur. Ayrıca m(LAF) $=$ 45° ve m(LBF) değil, m(LBE) $=$ 45° olduğu için ABEL dörtgeni de kirişler dörtgenidir (m(LAE) $=$ m(LBE) $=$ 45°).

   Bu adımı detaylandır

6. 6. Adım: ABEL kirişler dörtgeni olduğundan m(ABE) $+$ m(ALE) $=$ 180° olur. m(ABE) $=$ 90° olduğundan m(ALE) $=$ 90° ve dolayısıyla m(ALK) $=$ 90° bulunur.

   Bu adımı detaylandır

7. 7. Adım: Benzer şekilde ADFK dörtgeninde m(DAF) $=$ m(FDB) $=$ 45° olduğundan ADFK da kirişler dörtgenidir. m(ADF) $=$ 90° (yani m(ADC)=90°) olduğundan m(AKF) $=$ 90° ve m(AKL) $=$ 90° olamaz, m(AFK) ile ilgili: m(AKD) $=$ m(ACD) değil, m(ADF)=45° ve m(EAF)=45° olduğundan ALFD kirişler dörtgenidir. Buradan m(ADF) $+$ m(ALF) $=$ 180° değil, aynı yayı gören m(LAF) $=$ m(LDF) $=$ 45° olduğu için ADFL kirişler dörtgenidir! O halde m(ADF) $=$ 90° olduğundan m(ALF) $=$ 90° olur (F noktası CD üzerinde).

   Bu adımı detaylandır

8. 8. Adım: Aynı mantıkla m(KAE) $=$ 45° ve m(KBE) $=$ 45° olduğundan ABek kirişler dörtgenidir. m(ABE) $=$ 90° olduğundan m(AKE) $=$ 90° olur.

   Bu adımı detaylandır

9. 9. Adım: ALK üçgeninde m(KAL) $=$ 45°'dir. Eğer m(AKF) $=$ 90° ise ALK ikizkenar dik üçgendir. AFK ve AFE üçgenlerinde yüksekliklerden dolayı AKL üçgeni ile AFE üçgeni benzerdir.

   Bu adımı detaylandır

10. 10. Adım: Özel durum (simetri) kullanarak L noktasını B'ye, K noktasını BD köşegeninin orta noktasına (O) getirirsek; E noktası B ile çakışır, F noktası C ile çakışır. Bu durumda m(FAE) $=$ m(CAB) $=$ 45° şartı sağlanır.

    Bu adımı detaylandır

11. 11. Adım: Bu özel durumda ALK üçgeni ABO üçgeni olur ve alanı 36 birimkaredir. EFKL dörtgeni ise BOC üçgeni olur. Karede köşegenler alanı 4 eş parçaya böldüğünden Alan(BOC) $=$ Alan(ABO) $=36$ birimkare bulunur. Cevap: D

    Bu adımı detaylandır